| Ce manuscrit regroupe l'ensemble du travail que j'ai realise en these en cotutelle franco-chinoise. Cette these a ete effectuee sous la direction de Francois Alouges pour la partie francaise et de Guoliang Chen en ce qui concerne la partie chinoise. Le manuscrit est decoupe en 5 chapitres. Le premier concerne la diagonalisation de discretisation d'operatcurs de type Dirichlet-Neumann a l'exterieur d'ouverts bidimensionnels ou tridi-mensionnels.Ⅱcorrespond au travail fait en France, tandis que les 4 autres chapitres traitent de generalisation d'inverses de matrices de type Bott-Duffin, et decrivent le travailque j'ai fait en Chine.Plus precisement, siΩest un ouvert borne, regulier de Rd (d = 2 ou 3), si l'on souhaite evaluer numeriquement l'energiepourφ> harmonique en dehors deΩet decroissant a l'infini1 connaissant la traceφ0 deφsurΩ, on peut grace a l'operatuer de Dirichlet-Neumann DN ecrirede sorte que l'on ramene le probleme a la connaissance de DN (ce genre de question apparait tres naturellement dans un grand nombre de situations physiques comme par exemple le calcul de l'energie demagnetisante d'un echantillon ferromagnetique). Mal-heureusement, il est bien connu que DN est un operateur non-local, de sorte que la discretisation de la formule precedente fait intervenir des matrices pleines dont la taille est proportionnelle au carre du nombre d'inconnues N sur (?)Ω. Ceci peut etre redhibitoire, principalement lorsque d = 3. L'idee du premier chapitre est de decomposer spectralc-ment DN. En effet, si l'on connait les elements propres (λn,(?)n)n≥1 de DA, on pourra ecrire en decomposantφ0 selon les vecteurs propreset l'application de DN (et ainsi le calcul de l'energie precedente) deviendra triviale. En effet, on a alorset l'energie precedente se calcule grace aOn peut alors envisager de tronquer cette serie et d'utiliser l'approximationUn compromis etant a trouver reliant le nombre P de vecteurs propres a trouver ct la vitesse de decroissance de (φ0,(?)n) vers 0 (et aussi la croissance deλn). Ainsi, on cherche dans le premier chapitre a calculer les principaux vecteurs propres (?)n correspondant aux plus petites valeurs propresλn de DN en s'interdisant toute discretisation de DN qui donnerait un cout prohibitif a la methode. On produit ainsi une methode dont la complexiteest proportionnelle a N et au nombre de vecteurs propres P souhaites. Plusieurs techniques sont utilisees pour cela, on resout les problemes de Laplace exterieurs par une methode de type "elements infinis" utilisant des maillages exponentiels, et on utilise un flot adapte pour calculer les elements propres. Plusieurs formulations sont envisagees et validees par des exemples numeriques en dimensions d = 2 et d = 3.Dans les chapitres 2 a 5, correspondant au travail effectue en Chine, on etudie pour une matrice A∈Cn×n une generalisation de son (pseudo-)inverse au sens de Bott et Duffin. Plus precisement, on ecrit pour deux sous espaces supplementaire T et S de Cn le problemepour x∈T et y∈S. Ceci conduit en considerant PT,S (resp. PS,T) le projectcur sur T parallelement a S (resp. sur S parallelement a T), et en introduisant z= x + y de sorte quea ecrire le probleme precedent sous la formepuis, lorsque APT,S + PS,T est inversible, a poser x = AT,S-1 b ouLes proprietes de ce pseudo inverse sont etudiees dans les chapitres 2 et 3 alors quc lc chapitre 4 est consacre a la generalisation de cette notion sous la forme d' inverse generalise AT,S2 de A possedant un noyau et une image prescrites.
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