Volume, Integer Points And The Number Of Faces Of The Convex Polytopes

In this dissertation we will unter others work with two themes which are independent each other. In the premier theme, where algebraic tools will be used, we will obtain some results about the superior border of the number of every dimensional faces[41] of a convex polytope[58]. In the second, where tools of the theory of functions of one complex variable and that of integrations will be used, the volume and the number of the points with integer coordinates[5] of convex polytopes will be investigated.In premier theme of this work we will above all introduce the concepts of abstract simplicial complex, its geometrical realization[43] and some important topological (or homotopical) invariants relating to it, of which two examples are f-vector and h-vector which reflect deeply combinatorical properties of simplicial complexes and of which characteristic of Euler-Poincar is no other than a particular case. Then we construct a functor which corresponds to each simplicial complex an algebraic structure (a graded ring), its algebra of faces relative to a field k. The calculation of series of Hilbert of this ring permit of effectuating some powerful calculations of the number of faces of a polytope, of which a special case, the simplicial polytopes, is identical to simplicial complexes.Finally, as the main theorem of this theme which generalize the simplicial case that McMullen has showd[41], it is proved that, being given two integers d and n with n d+1, there exists a polytope(so called "cyclic polytope"[45][46]) C(n, d) of dimension d and with n vertices, such that for every polytope of dimension d and with n vertices, we have fj(P) fi (C(n, d)) , where we note fj(P) the number of i-faces of P and fi (C(n, d)) that of C(n, d).The second theme has the aim to calculate the volume and the number of integer points of certain convex polytopes. The premier part introduces the concept of polytopes, the objects of our research, and their realization[44]. The second part describes some general formulas for the calculation of the volume and the number of points with integer coordinates of a polytope[5]. A very important concept, only by which the expressions of the volume and of the number of integer points of apolytope can be given, is total residu[7][53][54]. Two examples of the calculation of total residu are given in the end of this part. In the third part these results are particularized to the polytopoes P( O, a).ZUSAMMENFASSUNGJede mathematische Disziplin hat die Hauptaufgabe, alle ihre Gegenstaende nach angemessener Equivalenz zu klaasifizieren zu versuchen. Diese Hauptaufgabe kann auch anderes beschrieben werden, naemlich dass jedes Gegenstand eine Invarianz zugeordnet wird und diejenigen, die dieselbe Invarianz entsprechen, in die selbe Klasse gehoeren gelassen werden. Darum hat jeder mathematische Fachbereich die darausfolgende Aufgabe, moeglichst gute Invarianzen, die die tiefgrundlegenden Eigenschaften ihrer Gegenstaende zeigen und wiederspieglen, zu erfinden oder zu entdecken.Konvexe Geometric, die vom deutschen Mathematiker Minkowski begruendet und u.a.vom daenischen Mathematiker Fenchel entwicklt wurde, ist die Teildisziplin von Geometric, die die konvexen Untermengen als Gegenstaende untersucht, worunter die Polytopen(d.h. konvexe Huellen von endlicher Punktmenge der Vektorraeume) am wesentlichsten sind. In der Polytopstheorie werden die Polytopen als Gegenstaende erforscht und also die Invarianzen gesucht, die unter den affinen Transformationen invariant bleiben, Bin Beispiel dafuer ist die Anzahl von i-Seiten eines Polytopes, welches das Ziel dieser Arbeit ist.In dieser Dissertation werden unter anderem zwei voneinander unabhaengige Themen bearbeitet, die sich beziehungweise um die Anzahl der Seiten jeder Dimension konvexer Polytopen und die Anzahl der Punkten mit ganzzahligen Koordinaten(Abkuerzung: ganzen Punkten) von Polytopen handeln.Beim ersten Thema wird ein Beweis eines Satzes ueber die Polytopen gefuehrt: gegeben seien zwei Ganzzahlen d und n mit n d+1, dann gibt es einen Polytop, den...